Sea X1, X2,…, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población Bernoulli. Del mismo modo sea Y1, Y2,…, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población Bernoulli.
Si definimos a X = ∑(Xi) y Y = ∑ (Yi como el número de éxitos en la primera y segunda muestra, respectivamente, entonces ambas variables tendrán distribución Binomial de parámetros π1 y π2.
Si definimos a p1 = X/n1 como la proporción muestral de éxitos en la primera muestra y p2= Y/n2 como la proporción muestral de éxitos en la segunda muestra, entonces diremos que p1 - p2 es una variable aleatoria muestral definida como la diferencia de proporciones muestrales cuya distribución muestral viene dada por su media y su varianza; es decir, por μ(p1 - p2 ) y σ2(p1 - p2) .
Ejemplo 18
Se cree que el 30% de las mujeres y el 20% de los hombres aceptan cierto producto. Si se hace una encuesta a 200 hombres y 200 mujeres, elegidos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que más mujeres que hombres acepten el producto?
Solución
Ante todo, formulemos las definiciones que sean necesarias y extraigamos los datos del problema según estas definiciones:
Sea X: Número de mujeres que aceptan dicho producto.
π1: Proporción de mujeres que aceptan dicho producto
Sea Y: Número de hombres que aceptan dicho producto.
π2: Proporción de hombres que aceptan dicho producto
Según esto: π1 = 0.30, π2 = 0.20; n1 = 200 y n2 = 200
Debemos calcular: P(X > Y)
Como no tenemos información sobre las distribuciones de X e Y (aunque sí se sabe pues ellas tienen distribución Binomial; pero debemos resolver el problema por variables proporcionales) haremos la siguiente deducción:
P(X > Y)= P(X / n1 >Y / n2 )= P(p1 > p1 ) = P(p1 - p2 > 0)
Como la distribución de p1 - p2 es N(π1 - π2 ,(π1 (1 - π1))/n1 + (π2 (1 - π2))/n2 ); es decir que p1 - p2 → N(0.10,0.04311632)
Luego P(p1 - p2 > 0) = 1 - Distr.Norm(0,0.10,0.0431163,1)= 0.9898
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