Unidad 5. DISTRIBUCIONES MUESTRALES (XVI)

5.6 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES

Sea X1, X2,…, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población Bernoulli. Del mismo modo sea Y1, Y2,…, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población Bernoulli.

Si definimos a X = ∑(Xi) y Y = ∑ (Yi como el número de éxitos en la primera y segunda muestra, respectivamente, entonces ambas variables tendrán distribución Binomial de parámetros π1 y π2.

Si definimos a p1 = X/n1 como la proporción muestral de éxitos en la primera muestra y p2= Y/n2 como la proporción muestral de éxitos en la segunda muestra, entonces diremos que p1 - p2 es una variable aleatoria muestral definida como la diferencia de proporciones muestrales cuya distribución muestral viene dada por su media y su varianza; es decir, por μ(p1 - p2 )     y     σ2(p1 - p2) .

Ejemplo 18

Se cree que el 30% de las mujeres y el 20% de los hombres aceptan cierto producto. Si se hace una encuesta a 200 hombres y 200 mujeres, elegidos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que más mujeres que hombres acepten el producto?

Solución

Ante todo, formulemos las definiciones que sean necesarias y extraigamos los datos del problema según estas definiciones:

Sea X: Número de mujeres que aceptan dicho producto.

π1: Proporción de mujeres que aceptan dicho producto

Sea Y: Número de hombres que aceptan dicho producto.

π2: Proporción de hombres que aceptan dicho producto

Según esto: π1 = 0.30, π2 = 0.20; n1 = 200 y n2 = 200

Debemos calcular: P(X > Y)

Como no tenemos información sobre las distribuciones de X e Y (aunque sí se sabe pues ellas tienen distribución Binomial; pero debemos resolver el problema por variables proporcionales) haremos la siguiente deducción:

P(X > Y)= P(X / n1 >Y / n2 )= P(p1 > p1 ) = P(p1 - p2 > 0)

Como la distribución de p1 - p2 es N(π1 - π2 ,(π1 (1 - π1))/n1 + (π2 (1 - π2))/n2 ); es decir que p1 - p2 → N(0.10,0.04311632)

Luego P(p1 - p2 > 0) = 1 - Distr.Norm(0,0.10,0.0431163,1)= 0.9898

 

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