Unidad 5. DISTRIBUCIONES MUESTRALES (II)

5.2 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

Media muestral

Una muestra de tamaño n,extraída de una población cuya media es μ y varianza σ², constituida por un conjunto de variables aleatorias independientes X₁, X₂,…, X_n es una muestra aleatoria y los n valores que toma X serán los datos que conforman la muestra.

Tomando en cuenta lo dicho en la introducción, supongamos que se han extraído k muestras aleatorias de la población de tamaño N. Si ₁, ₂ ,…,k son las medias muestrales de cada una de las muestras, entonces podemos afirmar que , media aritmética de las medias muestrales, es una variable aleatoria definida como Media muestral.

Siendo una variable aleatoria, entonces debe tener una distribución de probabilidad la cual estará definida por su media μ y su varianza σ², donde

Nota 1

Siendo una variable aleatoria y tiene una distribución de probabilidad, es natural preguntarnos: ¿Se puede calcular P( ≤ k)?

El siguiente teorema nos autorizará el uso de la distribución normal para resolver problemas como se plantea en la pregunta, bajo ciertas condiciones.

Teorema del Límite central

Sea X₁, X₂, …, X_n una muestra aleatoria extraída de una población de parámetros μ y σ². Si es la media muestral, entonces Z= ( - μ)/(σ/ √n) es una variable normal estándar, siempre que n sea suficientemente grande (n ≥ 30).

Nota 2:

Cuando la varianza poblacional es conocida

La Distribución muestral de la media muestral ¯X, cuando la varianza poblacional σ^2 es conocida, aplicando el Teorema del Límite Central, será normal con μ = μ y σ² = σ²/n, según la deducción realizada líneas arriba. Luego → N(μ , σ²/n).

Cuando la varianza poblacional es desconocida

Si la varianza poblacional es desconocida y la población desde donde se extrae la muestra es normal, entonces la variable T=( - μ )/(s/√n) → t(n-1). Esto es, cuando la varianza poblacional no sea conocida, usaremos la distribución t de Student para resolver el problema.