Unidad 5. DISTRIBUCIONES MUESTRALES (VI)

5.3 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN

Dada una población formada por elementos que poseen o no cierta característica, diremos que el indicador o parámetro π constituye la proporción de elementos que poseen dicha característica.

Si un experimento aleatorio tiene dos únicos resultados: éxito o fracaso y se ejecuta una sola vez, diremos que la población es de Bernoulli donde π representa la proporción de éxitos y 1 – π representa la proporción de fracasos. Si el experimento se repite n veces, podemos afirmar que la población es Binomial. Y cuando se realiza un muestreo con reposición, se dice que la población desde donde se extrae la muestra es una población Binomial.

Sea X₁, X₂,…, X_n una muestra aleatoria independiente extraída de una población de Bernoulli en donde si X_i = 1 ocurre éxito, si X_i = 0 ocurre fracaso.

Si ahora definimos a X= ∑_(i=1)ⁿX_i, como el número de éxitos obtenidos en esta muestra, entonces X constituye una variable Binomial tal que su valor esperado es E(X) = μ = nπ y su varianza V(X) = σ² = n π(1- π).

Si definimos a p = X/n como la proporción de éxitos o la proporción, diremos que p es una variable muestral cuya distribución de probabilidad viene dada por μ_p y σ²_p .

Ejemplo 05

El gerente de McAllum Inc. cree que el 30% de los pedidos a su empresa provienen de clientes nuevos. Para comprobar esta afirmación se toma una muestra aleatoria de 100 clientes que hicieron sus pedidos en la empresa.

a) Suponga que el presidente está en lo correcto y que π = 0.30. ¿Cuál es la distribución muestral de p para este estudio?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté a ± 0.05 o menos de la proporción poblacional?

Solución

Sea π la proporción de pedidos provenientes de clientes nuevos. Según el problema, π = 0.30. Igualmente n = 100.

a) Si definimos a p como la proporción muestral de pedidos provenientes de clientes nuevos, entonces la distribución muestral de p será p → N(π,π(1-π)/n); es decir, p → N(0.30,0.0021). En este caso σ_p = 0.04582576

b) Se pide encontrar P( | p – π | ≤ 0.05)

P( | p – π | ≤ 0.05) = P(0.25 ≤ p ≤ 0.35 )

                = Dstr.Norm(0.35,0.3,0.04583) - Distr.Norm(0.25,0.3,0.04583)

                = 0.724722