Unidad 5. DISTRIBUCIONES MUESTRALES (VII)

Ejemplo 06

Un mayorista compra vasos de vidrio en grandes cantidades directamente de la fábrica. Inspecciona una muestra al azar de 50 vasos de un lote recién adquirido para determinar la proporción de vasos rotos o defectuosos. Suponiendo que en realidad el lote ha sido enviado con 4% de vasos rotos o defectuosos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga como máximo 3 vasos rotos?

b) ¿Qué diferencia máxima encontrará Ud. entre la proporción de la muestra y su valor real con probabilidad 0,95?

Solución

Sea X: El número de vasos rotos o defectuosos en el lote.

Sea π: La proporción de vasos rotos o defectuosos en el lote.

Según el problema π = 0.04

Tamaño de la muestra, n = 50.

a) Se pide P(X ≤ 3).

Se sabe que P(X ≤ 3) = P(X/50 ≤ 3/50)= P(p≤0.06)

Como p → N(0.04, 0.000768) en donde σ_p = 0.02771281

Entonces P(p ≤ 0.06) = F(0.06) = Distr.Norm(0.06,0.04,0.02771281) = 0.764757

Según el problema debemos hallar una diferencia máxima, digamos K tal que P(┤|p - π| ≤ K)=0.95

Aplicando valor absoluto tenemos: P(-K ≤ p – π ≤ K ) = 0.95

Para hallar K debemos estandarizar la variable muestral p. Para ello es suficiente dividirá toda la inecuación entre la desviación estándar de p; esto es,

En la siguiente gráfica se muestra

En este gráfico tenemos P(Z<(-K)/0.027713)=0.025

        Usando inversa en N(0,1) hallaremos el valor del cociente; es decir,

        (-K)/0.027713=Distr.Norm.inv(0.025,0,1)= -1.96

De donde K = 0.0542

La diferencia entre ellos es del 5.42%.