Unidad 6. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS (XI)

Métodos de obtención de estimadores

En el tema anterior nos hemos dedicado a verificar si un determinado estimador goza de una o más propiedades. Esto nos permitirá tomar la decisión de seleccionar el estimador que goza de la mayor cantidad de propiedades. Pero la gran pregunta que nos hacemos es: ¿Cómo obtener un estimador para un determinado parámetro? ¿Cómo o qué procedimiento debemos usar para encontrar un buen o el mejor estimador?.

Sin duda podríamos tomar una muestra y encontrar en ella uno o más estadísticos que puedan comportarse como verdaderos estimadores de algún parámetro. Esta podría una forma de encontrar estimadores. Otros procedimientos a ser utilizados son conocidos como los métodos para estimar los parámetros. En consecuencia, en esta sección nos ocuparemos del estudio de los diferentes métodos de estimación más conocidos.

Los métodos de estimación de estimación de parámetros más conocidos son:

Método de los Momentos

Método de Máxima Verosimilitud

Método de los Mínimos Cuadrados

Método de los momentos

Antes de presentar este método, definamos lo que son los momentos de una variable.

Definición de momento poblacional de una variable aleatoria

Los momentos de una distribución de variable continua son los valores esperados de las potencias de la variable; es decir, E(X^r). La potencia de la variable indica el “orden” o grado del momento.

Notación:

Usaremos μ_r para designar al momento poblacional de orden r de la variable.

Caso de una variable continua:

El momento poblacional de order r se define como

Observación:

El momento de orden 1, de X es µ’₁ = E(X₁) = E(X) = μ

El momento de orden 2, de X es: µ’₂ = E(X₂) = σ²) + μ ². (recuerde que σ² = V(X) = E(X²) – (E(x))² , desde donde hemos despejado E(X²).

Si X → Exponencial (α), entonces

Nota 1:

Como σ² = V(X) = E(X²) – (E(X) )² entonces V(X) = μ’₂ – (μ’₁ )²

Nota 2:

Podríamos haber usado momentos para encontrar la media y varianza de cualquier variable aleatoria, sea uniforme, exponencial, normal, etc.

Caso de una variable discreta

El momento de orden “r” de una variable aleatoria discreta se define como

donde p(xi) es la función de distribución de X

Observación

Si X → Poisson(λ) entonces:

El momento de orden 1, de X es

Usando el mismo procedimiento podríamos hallar el momento de orden 2 de esta variable y encontraríamos que E(X² ) = λ² + λ.