Unidad 6. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS (XII)

Momento muestral

Sea X₁, X₂, …, X_n una muestra aleatoria de tamaño n, extraída de una población de parámetro μ ; (esto es E(X) = μ). El momento muestral de orden r de la variable X, se define como

Hemos usado p(x) = 1/n ya que siendo una muestra aleatoria, cada uno de los elementos de la muestra tienen igual probabilidad de ser seleccionados.

Observación

El momento muestral de orden “1” de X es

Es decir, el estimador asintóticamente insesgado de σ² puede ser obtenido restando al momento de orden 2, el cuadrado del momento de orden 1, de X.

Estimación por el método de momentos

Sea f(x; θ₁, θ₂, …, θ_k) una función de densidad con k parámetros y sean μµ₁, μµ₂, … , μµ₂ los primeros k momentos poblacionales. Sea X₁, X₂, …, X_n una muestra aleatoria extraída de la población anterior cuya función de densidad es f. Sean M’₁, M’₂, …, M’_k son los primeros k momentos muestrales. Si θ₂, θ₂, ..., θ_k es la solución, en función de θ, de las k ecuaciones M_i = μ_i,     i = 1, 2, …, k

Entonces diremos que dicha solución constituyen los estimadores obtenidos por el método de los momentos.

Procedimiento:

Obtener el primer momento poblacional y muestral. Igualando los dos resultados y despejando el parámetro, se tendrá el primer estimador.

Obtener el segundo momento poblacional y muestral. Igualando los dos resultados y despejando el parámetro en cuestión y usando el estimador del primer parámetro encontrado en el paso anterior, se tendrá el estimador del siguiente parámetro.

Continuar con el paso anterior hasta obtener el k – ésimo estimador.

Observación:

Si la población tiene r parámetros, se deberán obtener r estimadores; esto es, resolver r ecuaciones, usando los estimadores de los primeros parámetros.

Ejemplo 16

Sea X una variable aleatoria con función de densidad f(x; α) = αe^-αx,     x > 0; α > 0. Si X₁, X₂, …, X_n una muestra aleatoria extraída de la población, obtenga un estimador de α por el método de los momentos.

Solución

Puesto que la población dada sólo tiene un parámetro,  = , deberemos resolver sólo una ecuación. Para ello empezamos obteniendo el primer momento muestral y poblacional:

En realidad no era necesario integrar puesto que, siendo exponencial la función dada, por propiedades E(X) = 1/&alpha.

Ahora, formando la ecuación (1) = (2), obtenemos: α = 1/, con lo cual podemos concluir que = 1/ es el estimador de α.