Unidad 7. PRUEBA DE HIPÓTESIS (V)

Ejemplo 02

Una encuesta realizada a 64 empleados profesionales de una gran empresa reveló que el tiempo promedio de permanencia en dicho centro laboral era de 5 años, con una desviación estándar de 4 años. Sirven estos datos de soporte a la hipótesis de que el tiempo promedio de permanencia en un centro laboral está por debajo de los 7 años? Use un nivel de significación del 5%.

Solución

Datos del problema: μ_o = 7; σ = 4; n = 64;

= 5; α = 0.05

Las hipótesis:

H₀: μ ≥ 7

H₁: μ< 7

En este caso, la varianza poblacional es desconocida, por lo que usaremos la distribución t de Student.

Según esto, el estadístico calculado es

t_C = ( - μ_o)/(s ⁄ √n)=-4

Como Z_C es menor que el valor crítico = 1.669 entonces rechazamos H_o; es decir, es cierto que el tiempo medio de permanencia de estos empleados está por debajo de 7 años.

Ejemplo 03

Un proceso de envasado opera con una media de 500 ml y una desviación estándar de 5 ml. Se tiene la sospecha de que la media del proceso ha disminuido, y para verificar esto se toman al azar 25 envases, resultando una media de 498.6 ml. a) Al 1% de significación, ¿la sospecha tiene justificación?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que usted decida no rechazar la hipótesis nula siendo la verdadera media del proceso 495 ml? Use 1% de significación.

Solución

Datos: μo = 500; σ = 5; n = 25; = 498.6; α = 0.01

H₀: μ ≥ 500: La media del proceso no ha disminuido

H₁: μ< 500: La media del proceso ha disminuido

Siendo varianza conocida, usaremos la distribución normal.

Z_C = ( - μ_o)/(s ⁄ √n) = -1.4

Z_α = -2.326347

a) Criterio de decisión: Como el estadístico de la prueba no es menor que el valor crítico, no rechazamos la hipótesis nula; esto significa que la media del proceso no ha disminuido.

b) La nueva media = μ1 = 495.

por la forma de la pregunta, se trata de hallar la probabilidad de cometer el error de tipo II; es decir β.

Según el siguiente gráfico en el cual se muestra la curva normal cuando la media es 498.6 y cuando la nueva media es 495, debemos encontrar el valor de L, que determina la región de rechazo de Ho cuando en realidad es verdadero, error de tipo I y la región de aceptación de Ho cuando en realidad es falsa (ya que la media es otra), que es el error de tipo II o β.

Por ello

β = P(Aceptar Ho / Ho es F) = P( > L / (μ₁ = 495))

Calculemos primero L:

Como Z_α = (L - μ₀)/(σ ⁄ √n) entonces L= μ₀ + Z_α *σ/√n = 496.955

Luego β = P( > L / (μ₁ = 495)) = 1 – P(Z≤ 1.955) = 0.02529